공학이야기

#0. Euler-Cauchy Equation(오일러-코시 방정식) 2계 미분방정식의 또다른 형태인 오일러 코시 방정식에 대해서 풀이해봅시다. 지난 글에서는 2계 미분방정식 중에서 계수가 상수인것에 대해서 풀이해보았습니다. 이번엔 계수가 x에 관한 식일때, 오일러와 코시가 미리 연구해둔 방정식을 통해 풀이해보도록 하겠습니다. 이것이 오일러-코시 방정식의 형태입니다. 우리는 이 방정식의 해를 구하기는 어렵고, 오일러와 코시가 미리 구해둔 근을 가지고 풀이해보겠습니다. 바로 그 근은 입니다. 이것을 대입하여 식을 정리하면, x가 0이 아니라고 가정하고, 식을 정리하면 위와같이 m에 관한 2차식이 나오게 됩니다. 이전의 상미분 방정식과 마찬가지로 이차식의 근의 종류에 따라서 해가 결정됩니다. #1. 서로 다른..

이제 본격적으로 2계 미분방정식을 풀어보는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이번 글은 그중에서 쉬운 버전인 상수계수를 가지는 2계 미분방정식에 대한 이야기입니다. #0. 2계상미분방정식(Second-Order ODE with Constant Coefficient) a, b는 상수인 계수를 가지는 2계미분방정식의 형태입니다. 이 미분방정식을 풀기위해서는 이전의 1계미분방정식에서 해의 형태를 자세히 생각해보면 이 미분방정식의 해의 형태는 의 형태를 가졌습니다. 이 아이디어로부터 2계미분방정식의 해를 비슷한 형태로 미리 선택한 후 방정식을 풀이하게 됩니다. 즉 해의 형태를 를 두고 풀이해보겠습니다. 위 식을 미분방정식에 대입하면 e에 대한 함수는 항상 양수이기 때문에 식을 0을 만들기 위해서는 괄호안의 이차방정식..