#2.3 Homogeneous Linear ODE with Constant Coefficients(2계상미분방정식)

 

이제 본격적으로 2계 미분방정식을 풀어보는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이번 글은 그중에서 쉬운 버전인 상수계수를 가지는 2계 미분방정식에 대한 이야기입니다.

 

#0. 2계상미분방정식(Second-Order ODE with Constant Coefficient)

 a, b는 상수인 계수를 가지는 2계미분방정식의 형태입니다. 이 미분방정식을 풀기위해서는 이전의 1계미분방정식에서 해의 형태를 자세히 생각해보면

이 미분방정식의 해의 형태는 의 형태를 가졌습니다. 이 아이디어로부터 2계미분방정식의 해를 비슷한 형태로 미리 선택한 후 방정식을 풀이하게 됩니다. 즉 해의 형태를

를 두고 풀이해보겠습니다. 위 식을 미분방정식에 대입하면

e에 대한 함수는 항상 양수이기 때문에 식을 0을 만들기 위해서는 괄호안의 이차방정식이 0 이 되어야하는 상황입니다. 즉 이차방정식의 해의 형태가 어떻게 되냐에 따라서 미분방정식의 해가 결정되는것입니다. 그리고 이 이차방정식을 특성방정식(characteristic equation), 보조방정식으로 부르기도 합니다.

 

#1. 특성방정식이 서로다른 2개의 근을 가질때 ( 판별식 > 0 )

 

2개의 근을 가질 경우에는  로 두개의 근을 대입하여 해를 구하면 됩니다. 즉 미분방정식의 해는

 를 갖게 됩니다. 마찬 가지로 중첩의 원리를 적용하여 최종적으로 방정식의 해를 구하면

가 됩니다.

 

#2. 특성방정식이 중근을 가질때 ( 판별식 = 0 )

 

중근을 가지게 될경우 한개의 해만 나오기 때문에 하나 더 찾아야 합니다. 이 과정에서 지난글에서 언급한 계수내림(reduction of order)을 쓰게 됩니다. 한개의 basis를 알때 나머지 다른 basis를 구하는 방법이죠. 계수내림은 이전의 글에서 한 번 했었기때문에 그 과정을 그대로 따라가면 됩니다. 그리고 이 미분방정식은 계수가 상수인 미분방정식이기 떄문에 계수내림을 하면 간단히 정리가 되며, 두번째근은 첫번째 근에 x를 곱한 형태로 만들어지게 됩니다.

마지막 식에  x 가 붙은 형태로 근이 하나 더 나오게 되는데 실제로 이를 해보면 약간 이상할겁니다. e와 분수가 섞인상태로 나오기 떄문에, 이것은 다음 글에서 부록으로 계산을 남겨놓도록 하겠습니다. 약간 과정이 깁니다. 미리 확인해보고 싶다면. 아래의 사이트에서 확인하실 수 있습니다.

 

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/RepeatedRoots.aspx

 

  #3. 특성방정식이 허근을 가질때 ( 판별식 < 0 )

 

근이 허근으로 나오게 되면 e 의 지수자리에 허근이 오게 됩니다. 그러면 우리는 오일러 공식을 이용해서 이를 삼각함수의 형태로 바꾸어서 나타내주게 됩니다. 일단 오일러 공식은

 

 

가 되며, 이를 우리가 구하는 근에 적용시켜보면

여기서 문제가 허수부분이 안사라진다는 것인데, 변형해서 계산하면 허수부분을 없앨수 있다고 합니다.(제 실력으로 계산이 안되네요... 더 찾아보고 나중에 완성되면 이것에 관해 글을 올릴 수 있도록 하겠습니다.)

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/ComplexRoots.aspx

저도 공부중이기는 합니다만, 허수를 처리하는 방법에 대해서 써놓은 글이니 참고하시기 바랍니다.

그래서 최종적인 근은

꼴이 나오게 됩니다. 이로써 2계 제차상미분방정식은 어떤 경우에든 풀 수 있게되었습니다.