#2.4Euler-Cauchy Equation(오일러-코시 방정식)

 

#0. Euler-Cauchy Equation(오일러-코시 방정식)

2계 미분방정식의 또다른 형태인 오일러 코시 방정식에 대해서 풀이해봅시다.

 

지난 글에서는 2계 미분방정식 중에서 계수가 상수인것에 대해서 풀이해보았습니다. 이번엔 계수가 x에 관한 식일때, 오일러와 코시가 미리 연구해둔 방정식을 통해 풀이해보도록 하겠습니다.

이것이 오일러-코시 방정식의 형태입니다. 우리는 이 방정식의 해를 구하기는 어렵고, 오일러와 코시가 미리 구해둔 근을 가지고 풀이해보겠습니다. 바로 그 근은  입니다. 이것을 대입하여 식을 정리하면,

x가 0이 아니라고 가정하고, 식을 정리하면 위와같이 m에 관한 2차식이 나오게 됩니다. 이전의 상미분 방정식과 마찬가지로 이차식의 근의 종류에 따라서 해가 결정됩니다.

 

#1. 서로 다른 근을 가질떄 (판별식 > 0)

두 개의 근을 가지기 떄문에 어려움없이 중첩의 원리에 따라 서로 더해주면 근이 나오게 됩니다. 이차방정식의 근을 라고 하면 미분방정식의 근은

을 근으로 가지게 됩니다. m은 근의 공식을 이용한 값으로

입니다.

 

#2 . 중근을 가질때 ( 판별식 = 0 )

 

이전의 상미분방정식과 같이 계수내림을 이용하여 풀어야하는데, 약간의 식조작을 한 이후에 계수내림을 적용해야합니다.

여기서 P는 이전의 상미분방정식과 같은 형태로 만든이후에 나와야하기 때문에 미분방정식을

으로 나눈 이후에 생기는 변수를 대입하여 적분한 뒤에 U를 얻어야합니다. 으로 나눈식은

가 됩니다.

 

U를 계산해보면

y1은  이고  이므로 이를 대입하여 식을 정리하면

 

가 되고 최종적인 해는 중첩의 원리를 통해 더해주면

이 됩니다.

 

#3. 허근 ( 판별식 < 0)

허근의 경우 많이 쓰이지는 않습니다. 식의형태도 복잡하고, 잘 나오지 않지만, 그래도 한번 식을 풀이해봅시다. 앞에서와 같이 근의 공식을 써주고 근호안의 부분은 iw형태(복소수)로 표현해주면

이제 여기서 오일러 공식을 적용하여 식을 간단히 해주어야하는데, 식의 형태가 그리 쉬워보이지가 않습니다. 따라서  를 이용하여 뒤쪽항을 e에 대한 식으로 바꿔서 표현하면

이렇게 근이 나오는데 i가 보기가 불편하기 떄문에 지난번 상계수미분방정식에서 했던것처럼 y1 과 y2의 합이나 차로 새로운 2개의 basis를 만들어 표현해주어도 됩니다.

중첩의 원리를 이용한 최종적인 해는

 

가 됩니다. 이로써 이계미분방정식중 하나인 오일러-코시 방정식의 풀이가 가능해졌습니다.