#2.6 Method of Undetermined Coefficient(미정계수법)

 

지난 글을 끝으로 Homogeneous 한 형태의 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아보았고, 이제 Nonhomogeneous 한 형태의 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다. R(x)가 0이 아닌 형태를 의미하는데, 오늘은 그 풀이법 중에서 가장 대표적인 방법, 미정계수법 에 대해서 알아보겠습니다.

 

#0. Nonhomogenous ODE(비제차 미분방정식)

일단 Nonhomogeneous 의 경우 중첩의 원리가 homogeneous한 해와 Nonhomogeneous 한 해의 결합으로 이루어집니다. 즉, 일반해와 특수해의 합으로 해가 결정되는 것이지요, 따라서 기본적으로 해를 구할때 두가지 경우 모두를 계산하신 후에 합쳐주는 과정을 거쳐야합니다. 이전 글에서는 Homogeneous 한 경우 오일러 코시방정식이나, 특성방정식을 이용하여 풀이를 했었고, 오늘은 Nonhomogeneous 한경우에 대해서 미정계수법을 이용하여 풀이 하도록 하겠습니다.

 

 

#1. Method of Undetermined Coefficient(미정계수법)

가장 대표적인 방법인데, R(x)의 모양을 알 경우에, 해가 R(x)하고 비슷할 것으로 추측을 하여, 비슷한 모양을 가정해서 근으로 대입한 후 계수를 맞춰주는 방법입니다. 가령 R(x)가 삼각함수라면 그의 해도 삼각함수일 것이고, 다항함수라면 그의 해도 다항함수 일것이라고 예상하는 겁니다. 물론, 어떻게 해를 두는지는 우리가 증명하는것이 아닌, 이미 선대의 수학자들이 모두 결정해두었기때문에, 우리는 그를 이용하는 측면에서 접근하면 됩니다.

 

 

위 표는 R(x)의 형태에 따라 어떻게 해를 잡아야하는지를 보여주는 표입니다. K는 상수뿐만이 아니라 어떤 미지수가 있는 식(다항함수)가 들어갈 수도 있습니다. 좀 더 구체적인 예시로 또 보여드리면

이런식으로 해를 잡아서 가정하실 수 있습니다. 이번에는 한 예제를 통해 직접 풀이해보겠습니다.

R(X)의 형태가 지수함수이기 떄문에 Yp의 형태도 지수함수로 가정해서 풀이합니다.

이렇게 지수함수로 해를 가정해서 풀수 있고 만약에 R(x)가 다항함수+지수함수 였다면 중첩의 원리에 의해 다항함수일때와 지수함수일때를 따로 계산해서 합쳐주면 그 역시 Yp가 될 수 있습니다.

 

#2. 주의점 및 특수케이스

 

그런데 만약에 Nonhomogeneous 일때의 해를 구했는데 그것이 Homogeneous 한 형태의 해와 중복될 수 있습니다.(독립이 안될떄) 그럴경우에는 가정한 해에 대해서 x를 계속 곱해서, 중복되지 않을때 까지 곱해서 해를 결정해야합니다. 이 역시 말로는 잘 설명이 안되니, 한 예제를 통해서 풀이해보도록 하겠습니다.

 

이러한 미분방정식이 있다고 가정해봅시다. 일반해는 앞에서 배운 특성방정식을 이용해서 계산해주면

임을 알수 있습니다. 그럼 이제 특수해를 구하면 되는데 이미 지수함수가 존재하기때문에 x를 계속 곱해서 새로운 해가 나올때까지 곱해서 Yp를 결정해주어야합니다.

 이 형태도 이미 존재하기 떄문에 x를 한 번 더 곱해주면

가 특수해의 가정이 됩니다.

이렇게 해서 기본적인 2계미분방정식의 풀이법을 알아보았습니다. 대부분의 경우 앞에서 배운 특성방정식, 오일러코시방정식, 그리고 미정계수법을 통해 구한 해들의 합으로 나타내어지는것이 일반적인 풀이법입니다. 대표적으로 많이 쓰이는 방법이기 때문에 꼭 알아두길 바랍니다. 이 방법들만 숙지해도 90퍼센트 이상의 미분방정식들을 풀 수 있을겁니다.