#2.8 Higher Order ODE(고계미분방정식)

 

지난 글을 끝으로 2계미분방정식까지의 풀이법에 대해 알아보았고, 이번 글은 약간 부록편에 해당하는 고계미분방정식입니다. 일반적으로 고계(고차)라하면 3차 이상의 미분방정식을 의미하고, 풀이법은 2계미분방정식에서 배웠던 여러가지 스킬들을 확장하는 방법으로 이루어집니다. 물론, 공대수학을 하며서 2계 이상의 미분방정식을 풀게될 일은 거의 없을테지만, 그래도 모든 미분방정식에 기본적인 접근 방법을 습득한다고 생각하고, 오늘 글을 읽어주시면 감사하겠습니다.

이번글에서 주로 쓰이는 방법들은

Wronskian                                (https://lifelectronics.tistory.com/36)

상계수미분방정식(특성방정식)      (https://lifelectronics.tistory.com/33)

오일러-코시 방정식                    (https://lifelectronics.tistory.com/35)

한 번정도 다시 읽어보면 도움이 됩니다.

 

#0. Higer Order ODE(고계미분방정식)

 

이전 글에서 썻던 방법들의 총집합이라고 생각하면 될 것 같습니다. 이번 글 같은경우는 어떤 증명이나 식의 전개보다는 몇가지 대표적인 예제를 가져와서 풀이하는것이 더욱 도움이 될 것같아, 실제 문제를 통해서 푸는 방법을 알아보겠습니다. 고계미분방정식의 기본은 3차 이상의 미분방정식을 의미합니다. 즉 N계 미분방정식이라 했을때 그의 해는

의 형태를 갖습니다. 중첩의 원리가 성립하고, 2계미분방정식과 같이 General Solution 과 Particular Solution의 합으로 구성됩니다.

 

#1. 고계상계수미분방정식(Higher Order ODE with Constant Coefficient)

Nonhomogenous 한 형태이기 때문에 Homogeneous 한 형태의 해와 Nonhomogeneous 한 형태일때의 해를 각각구하여 중첩의 원리를 통해 더해주도록 하겠습니다.

먼저 Homogeneous 한 해를 구하기위해, 이전에 배웠던 특성방정식을 이용하여 해를 구해줍니다.

 

이렇게 람다의 값이 -1로 중근이 나오게됩니다. 2계미분방정식에서 중근이 나왔을 경우 x를 계속 곱하여 새로운 Basis를 구헀던것처럼 여기서도 x, x^2 을 곱해서 새로운 basis 를 만들어서 합쳐주면 됩니다. 즉 해는

의 형태가 됩니다.

다음으로 특수해(Particular Solution)을 찾아보면 r(x)의 형태가 지수함수의 형태이기 때문에 그와 비슷하게 Yp를 지수함수로 가정하게 되면

형태로  주어질겁니다. 그런데 문제가 있습니다 이미 이 형태는 Homogeneous 한 형태에서 구한 해와 같습니다. 미정계수법에서는 이런 경우 앞에다가 x를 계속곱하여서 새로운 형태의 basis가 나올때 까지 곱한다고 했습니다. 따라서 이미 x^2까지 곱한 형태는 구했기 때문에 x^3을 곱한것이 새로운 basis이자 Particular Solution이 되는 겁니다.

 이것을 대입해서 풀이하면 됩니다.

 

계산하면 C=5가 나오게 되어 특수해는 가 되어 최종적인해는

가 됩니다.

 

#2. 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)

이번에도 역시 예제를 통해 풀이해 나가며 설명하도록 하겠습니다.

마찬가지로 homogeneous 한 해를 구하기 위해 y = x^m으로 두고 나오는 m에 대한 방정식으로 나타내면

m=1,2,3 이 나오므로 차례로 basis를 만들어주면

가 됩니다. 이제 Nonhomogeneous 한 해를 구하기 위해서는 한가지가 선행되어야 풀이가 가능합니다. 바로 론스키안의 확장인데요, 이전글에서 론스키안을 다룰때에는 2x2행렬식까지만을 다루었습니다. 3x3, 4x4,...nxn의 행렬식을 세울려면 선형대수학에서 배우는 determenent를 이용해서 구해야하는데요, 지금은 그것을 다 설명할 수 없으니, 일단 간략히 계산 하는방법만 보면

Determenent의 계산법

 

이렇게 주어집니다. 우리가 a b c에 넣을것은 아까 구한 basis들을 넣고 def에는 그의 미분값을, ghi에는 두번 미분한 값을 넣어서 계산합니다.

 

 

그다음 y1, y2 y3에 해당하는것은 W1, W2, W3로 구할 수있습니다. 각 열에 0 0 1 을 넣어서 계산하는 방식입니다. 예를들어 W1 은 1열에 0 0 1, W2는 2열에 0 0 1, W3는 3열에 0 0 1을 넣어 계산합니다.

 

즉 특수해를 적분식을 포함해서 적어보면

가 되고 마찬가지로 중첩의 원리를 적용해여 최종적인 해를 구하면

 

가 됩니다.

 

#3. 끝으로...

계산이 상당히 복잡합니다. 물론 3차 이상의 미분방정식을 볼 일이 거의 없을겁니다. 론스키안의 경우에도 미리 알지 못하면 풀이가 불가능하기도 하구요. 그래도 차수가 올라간다 하더라도, 풀이하는 방법은 1차와 2차에서 배운 방법들을 이용해서 풀이한다는 것만 알고 가도 충분히 앞으로 문제를 푸실떄에 지장은 없을겁니다.

이렇게 해서 미분방정식에 대한 기본적인 풀이법들을 마무리하고, 다음글에서부터는 라플라스변환를 이용한 풀이법들을 알아보도록 하겠습니다. 지금까지 배운 풀이법들은 마치 사칙연산을 공부한 것처럼 기본적으로 알고 있어야하는 내용들입니다. 이것이 기반이 되어 나중에 실제 상황에서 방정식이 나왔을때 다시 찾아보는 것이 아니라, 그저 방정식을 푸는 느낌으로 이 방법들을 쓰게 됩니다.