#3.1Laplace Transform(라플라스변환)

 

 

#0. Transform(변환) 이란?

---

미분방정식을 미분과 적분을 이용해서 풀이하는 기본적인 방법론에 대해서 이전글까지 설명했고, 앞으로 나올 주제들은 "변환"에 관한 이야기입니다. "변환"이라고 하면 일단 무언가를 다른세상으로 끌고 간다고 생각하면 될 것 같습니다. 우리가 "변환"을 하는 이유는 어떤 식이 다루기가 좀 힘들때, 이 식을 변환시켜 우리가 다루기 쉬운형태로 만들고자 할때 "변환" 을쓰게 됩니다.

 

예를 들면, 초월함수나 삼각함수의 경우 함수의 특성상 계산이 복잡해지거나, 다루기가 힘들어집니다. 이것을 변환을 통해 다항함수나 유리함수정도로 바꿀 수 있다면, 계산과정이 훨씬 줄어들게 되겠죠. Laplace Transform도 이와마찬가지입니다. 미분이 껴있어서 다루기가 힘든 미분방정식을 Laplace Transform을 통해 사칙연산이 가능한 형태로 만들어서 풀이한 다음, 다시 inverse Transform을 통해 원래상태로 돌아가는 방법입니다.

 

#1. Laplace Transform (라플라스변환)

---

라플라스변환에서는 t세상이 있고, 변환후엔 s세상이 있습니다.(쉽게 비유를 한것입니다.) t세상은 현재 미분방정식을 다루는 세상이고, 이것을 라플라스 변환을 하여 s에 관한 세상으로 끌고 가는 것입니다.(s에 관한식) s세상에서는 미분과 적분이 곱셈과 나눗셈을 통해 연산하게 됩니다. t세상에서보다 훨씬 간단한 방법으로 계산할 수 있게 되겠죠. 그리고 계산이 끝난 뒤에는 다시 inverse Transform(역변환)을 통해 다시 t세상 돌아오는 겁니다.

오늘은 그 첫번째 관문인 t에서 s세상으로 가는 변환에 대해 정의하겠습니다.

 

 

#2.Laplace Transform의 정의

---

 

 

라플라스변환은 적분을 통해 정의 됩니다. 적분식이 dt이므로 t에 관해서 적분하죠? 즉 s는 여기서 상수취급이 되게 됩니다. 이 변환을 거치게 되면 식이 s에 관한식으로 변환이 되는 것입니다. 그렇다면 반대로 s세상에서 t세상으로 돌아가는 inverse Transform도 식이 있겠죠? inverse Transform의 식은

이렇게 됩니다..... 이해가 안가죠? 적분 구간에 복소수가 포함되어있고 심지어는 밖에도 복소수가 포함되어있습니다. 이걸 풀어내기 위해서는 복소수관련 파트를 공부해야한다고 합니다.(매우 어렵다고 하네요.)그래서 대부분의 공학수학책에서는 Laplace Transform만을 식으로 공부하고, 역변환은 표를 주고 외우게 만듭니다.

 

이렇게 우리가 많이 쓰는 식들에 대해서는 표를 이용하는 것이 훨씬 빠르고 편하기 때문에 이 표를 통해 라플라스 변환을 하게 될겁니다. 여러가지 변환에 대한 풀이들은 다음 글에서 다루기로 하고 오늘은 가장 간단한 식을 하나 풀어보고 마무리하도록 하겠습니다.

 

#3. 예제

---

1. f(1) 의 Laplace Transform

2. f(e^at) 의 Laplace Transform

이건 약간 느낌이 특이하죠? 1번과 비교해봤을때 -a가 추가되었습니다. 이것을 s-Shifting 이라고 합니다. Shifting 과 관련해서는 다음글에서 한번에 다루도록 하겠습니다.

표를 보지 않고 한번 직접 적분식을 써가면서 변환을 해보길 바랍니다. 나중에 익숙해지면 바로바로 식을 라플라스 변환을 통해 s에 관한 식으로 바꿀 수 있을겁니다.