#3.3 Laplace Transform3-미분과적분

#0. 미분과 적분

 

라플라스변환은 미분방정식에서 미분과 적분을 간단히 사칙연산처럼 수행할수 있도록 S세상으로의 변환이라고 이야기했었습니다. 오늘은 그 미분과 적분이 라플라스의 S세상에서는 어떻게 이루어지는지를 알아보겠습니다.

 

 

#1. Laplace Transform의 미분

 

바로 식으로 접근해봅시다.

여기까지 크게 어려운 부분은없습니다 부분적분 과정에서 f의 라플라스 변환값이 보이기 때문에 그것을 이용하여 다시 식을 적어주면 됩니다. 2계미분까지 한번 변환해보도록 하겠습니다.

마찬가지로 앞의 것을 계속 이용해서 식을 풀이해 나갈 수 있습니다. 규칙을 자세히 보면 첫항부터 s의 차수가 계속 낮아지고, 라플라스 값, 그다음은 f(0)의 값 그다음은 f' , f'', f'''.....이런식으로 n계미분까지 접근해볼 수 있습니다. 따라서 n계 라플라스 변환을 식으로 적어보면

 

꼴이 됩니다. f(0)값을 이용하기 떄문에 많은 문제에서 f(0)에 대한 정보를 초기값으로 주어 계산을 용이하게 만드는 경우가 많습니다.

 

#2. F(s)의 미분

 

이번엔 반대로 S세상에서 어떻게 미분이 이루어지는지를 알아보면

 

 s에 대해 미분한것이기 떄문에  t에 관한 식은 모두 제쳐두고 지수함수에 있는 -st 값만 계수로내려와 -t가 곱해지는 형태입니다. 즉, S세상의 미분은 T세상에서 -t를 곱하는 행위와 같다는 결론이 나오게 됩니다. 만약 두번 미분한다면 t^2이 곱해지게 되겟지요

 

#3. Laplace Transform 적분

 

미분의 경우 식상에서 대입을 통해 풀이가 가능하지만 적분의 경우 꼴이 조금 복잡하기 떄문에 한가지 가정을 미리 하고 들어갑니다. g(t)라는 함수를 하나 정의하게 될텐데요

이런 적분 식 하나를 정의하게 됩니다. 위끝이 t이기 떄문에 g(0) = 0 입니다. 자 이제 이걸 미분하면

가 되지요, f를 어떤 함수의 미분값으로 둔겁니다 그래야 미분의 역과정을 통해 적분을 할 수 있기 때문입니다. 자 이제 이걸 라플라스변환 시키면

 

이렇게 됩니다. G를 다시 써보면

약간 말장난 처럼 보이지만, 이렇게 미분의 역과정을 통해서 라플라스변환의 적분을 정의할 수 있게 됩니다. 즉 t세상에서의 적분이 s세상에서는 s로 나눈값이 된다는 것을 알 수 있습니다.

 

#4. F(s)의 적분

 

마지막입니다. 이번엔 반대로 S세상의 적분에 대해서 알아보겠습니다. 식을 살펴볼텐데, 약간 적분범위가 달라진 것을 이용해서 적분합니다.

 

위의 물결표시는 평행이동(shifting)되었다는 의미입니다. 즉 적분 범위가 원래 0 ~무한이었는데 S만큼 이동하여 s~무한대가 된것이지요. 이것을 이제 라플라스 변환식에 넣어서 보면

 

dt 와 ds를 바꾸는 방법을 통해 식을 간결하게 정리하게 됩니다.(미적분학) 결론적으로 S세상의 적분은 t세상에서 t로 나눈것이 되는것이지요.

 

 

이렇게 해서 S세상과 T세상에서 미분과적분이 서로에게 어떻게 나타나는지를 알아보았습니다. 적분의 경우 T이든 S이든 t 혹은 s로 나눈값이 되고 미분의 경우엔 S에서는 -t를 곱하고, T에서는 식의 전개를 통해 나타난다는것입니다. 이 네가지를 자유자재로 이용할 수 있어야, 미분방정식의 라플라스 변환을 잘 할 수 있게됩니다.

 

미분과 적분이 사칙연산으로 수행될 수 있다는 것은 미분방정식을 풀이함에 있어 강력한 무기입니다. 오늘 알아본 이 4가지를 통해 t가 곱해져 있거나 나눠져있는것이 S세상에서 어떻게 작용하는지를 알 수 있으면 됩니다. 과정이 생각보다 헷깔리기 때문에 여러번 보면서 익숙하게 만드는 것이 중요합니다.