#3.5 Unit Step Function(단위 계단 함수)

 

 

#0. Unit Step Function(단위계단함수)

 

말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 보면서 어떤 특성을 가지는 지 알아보도록 하겠습니다.

 

 

이렇게 어느 지점 이후부터는 1, 이전에는 0 인 함수를 Unit Step Function이라고 합니다. 여기선 0 이 기준점이 되었지만 평행이동도 가능합니다 만약 a를 기점으로 했다면 u(t-a) 이런식으로 나타내서 a이전과 이후에 0 과 1이 되는 것을 볼 수 있습니다.

공학에서 이 함수는 on, off 에 이용됩니다. t가 시간으로 둔다면 0 초(혹은 a초) 이후부터는 켜짐, 0초이전에는 꺼짐 상태로 둘 수 있다는 것이지요. 이러한 특성을 이용해서 만약에 어떤 함수에 이 Unit Step Function을 곱해준다면, 원하는 시점에서만 그래프가 나타나도록 만들 수 있습니다. 즉, 신호처리에 이용되는 것이지요

 

 

#1. 단위계단 함수의 라플라스변환

 

이 함수의 라플라스 변환은 정의 그대로를 따라 가면 됩니다. u(t-a)를 변환해보면

 범위가 a 이후부터 값이 존재하기 떄문에 적분범위가 0에서 무한대가 아닌 a부터 무한대로 수정됩니다. 변환 자체는 매우 간단합니다. 나중에 역변환을 할때 위 분수의 형태가 나타난다면 unit step function이 곱해져있다는 것을 눈치채는 것이 중요합니다.

 

#2. Time shifting(t-shifting)

 

이 함수에서는 u(t) -> u(t-a)처럼 t에 대해서 평행이동을 할 수도 있습니다. 앞 글에서 이미 언급했다시피, t대신 t-a가 들어가게 되면 변환했을때는 앞에 e^-as가 붙는 형태가 됩니다. 예제를 통해서 알아보도록 하겠습니다.

위함수의 역변환은 5sint 임을 쉽게 알 수 있죠. 자  여기서 앞에 e^(-2s)를 곱한다고 생각해봅시다.

이 함수는 t에서 2(2초)만큼 평행이동 한 함수가 됩니다. 그렇다면 unit step function을 이용해서 나타내게 되면, u(t-2)를 곱해주는 형태일겁니다. (2초 이후부터 작동한다고 생각하면 되겠죠?

 

그런데 여기서 주의할 점이 있습니다. e^(-as)를 곱해주면 함수의 전체가 이동한다는 것입니다. 그래서 라플라스변환공식을 보면

이렇게 됩니다. 그런데 간혹 문제에서 f(t-a)가 주어지지 않고, f(t)가 주어져있고 u(t-a)가 곱해져있는 경우가 있습니다. 이 경우 t-a에 대한 식으로 t를 나태나어서 위 식과 같은 형태로 고치고 난 후에 변환이 가능하다는 것이지요.

예를 들어보겠습니다

 

이렇게 식이 주어져있다면 이상태로는 변환하기가 쉽지 않습니다. 따라서 t-1을 이용해서 t제곱을 나타내어야합니다.

이렇게 나타내어서 선형성을 이용하여 3개의 항을 따로 따로 변환 한 뒤에 합치는 것입니다. 이렇게 고쳐주어야 e^(-as)가 곱해진 형태로 변환이 가능합니다. 이 과정이 생각보다 까다로울수 있기떄문에 어떤 식의형태를 봤을때 통일되어 있지 않다면, 미리 변환할 것을 염두에 두고 접근하는 것이 좋습니다.