#3.6 Dirac Delta Function(디렉델타함수)

#0. Dirac Delta Function(디렉델타함수)

 

디렉텔타함수

 

디렉델타함수는 특정값에서만 값이 무한대로 튀어오르는 함수를 말합니다. 아주 오래전 수학계에서는 함수로 정의되지도 않았습니다. 그리고 우리가 배울 정의도 수학적 정의가 아닌, 약속에 의한 정의를 배우게 될겁니다.함수식은 아래와 같이 정의됩니다.

또한, 이 함수의 적분값은 1로 정의 됩니다.

이 함수는 편의를 위해 제작된 함수이기 떄문에 적분이 원래는 안되지만, 된다고 가정을 하고 그 값을 1로 둔 것입니다. 적분의 값이 1인것은 대표적으로 확률이 있습니다. 확률의 합도 1이기때문에 이 함수는 어떤 분포를 나타낼 때 유용하게 쓰이게 됩니다. 이 함수는 극한을 이용해서 정의하기도 합니다. k 가 0으로 갈때의 정의를 보면

이렇게 무한대를 이용하여 디렉델타함수의 정의가 됩니다. 그런데 위에서 극한을 쓰지 않은 이유는 만약 함수가 이렇게 정의되어버린다면(무한대가 함수에 들어가면) 적분식에서 적분자체를 할 수가 없어지기 떄문에 일부러 어떤 함수의 형태(1/k)를 빌려와서 표현한 것입니다.

 

#1. Dirac Delta Function's Laplace Transform

(델타함수의 라플라스 변환)

 

일단 이 함수를 바로 변환시키기는 어렵기 떄문에 처음에 정의한 것으로부터 시작합니다. 무한대로 튀어오르는 부분이 a와 a+k 라는 범위에 있고 나중에 극한을 이용하여 k를 0으로 보냄으로써 a에서 값이 튀어오르는 함수가 될겁니다. 이전글에서 배운 Unit Step Function을 이용해서 나타내보면

(이렇게 Unit Step Function을 이용하면 구간별로 정의된 함수를 표현하기 쉽습니다.)

이걸 라플라스 변환시켜보면

 가 되고 여기서 k를 극한을 이용하여 0 으로 보내게 되면 비로소 디렉델타함수의 라플라스변환값을 얻어낼 수 있습니다.

 

분모 분자가 0 분의 0 꼴이기 떄문에 로피탈의 정리를 이용해서 식을 정리할 수 있습니다. 분모분자를 k에 대해 미분하고 극한을 씌워주면

 

가 됩니다. 이것이 바로 디렉델타함수의 라플라스 변환값이 되겠습니다. 식의 형태가 Unit Step Function과 비슷하기 때문에 주의하기 바랍니다. 추가적인 특징으로는 디렉델타함수 앞에 어떤 함수가 곱해져있어도 한 지점에서만 무한으로 치솟기 떄문에 곱해진 함수의 라플라스값도 e^-as가 됩니다.