#3.4 Laplace Transform4 미분방정식의 풀이

 

#0. 라플라스변환을 이용한 미분방정식의 풀이

 

이번 글은 지금까지 배운 라플라스 변환을 이용해서 간단한 미분방정식들을 풀이해보도록 하겠습니다. 새로운 내용보다는 지금까지 배운 미분방정식의 풀이를 떠올리면서 한번 정리하고 간다고 생각하면 되겠습니다. 그리고 앞서 배운 ODE 풀이법과는 어떻게 다른지 확인해보길 바랍니다.

 

#1. 예제

 

 

초기값(initial value)이 주어진 문제입니다. 미분방정식 풀이를 해보도록 하겠습니다. 일단 미분방정식을 라플라스 변환 시켜줍니다. y의 라플라스 변환 한것을 대문자 Y로 두도록 하겠습니다.,

 

식을 Y로 묶어서 정리해주면

 

Y만 남기고 나눗셈을 해주면(부분분수를 이용해서 분수를 쪼개줍니다.)

자 이제 역변환이 가능한 형태가 나왔습니다. 이렇게 라플라스 변환시에는 최대한 분수의 꼴이 우리가 아는 형태가 나오도록 분리시켜주는 것이 중요합니다. (나중에 부분분수에 관해서도 글을 올리도록 하겠습니다.)

 

이제 역변환(inverse transform)을 해주면 첫번째 항은 sinh 꼴 두번째항은 제곱이니깐 t, 마지막항은 s-shifting 으로 생각해주면

 

이렇게 역변환이 가능합니다.

ODE를 푸는 방법이었다면 미정계수법이나 변수변환법을 이용해서 풀었어야 할텐데, 이렇게 변환을 이용하면 훨씬 풀이과정을 줄일 수 있습니다. 미분이나 적분이 필요하지 않기때문에

 

#2. 예제2 - shifting Problem

 

이번에는 shifting 을 이용하여 문제를 풀어보도록 하겠습니다. 보통 초기값이 0 으로 주어지지 않았을때 이것을 0이 있는 위치로 이동시켜서 풀이할때 이 방법을 쓰게 됩니다.

 

자 초기값이 0 이 아닌 pi/4 지점에서 주어져 있습니다. shifting 을 통해서 잠시 0 으로 가져갔다가, 나중에 다시 pi/4 지점으로 되돌려 준다면, 좀 더 풀이가 간단해질 겁니다. shifting 을 위해 변수를 약간 조절해주면

 

이렇게 둔다면, 물결표시 t가 0 일때를 기준으로 계산하면 t 는 pi/4 일때가 기준이 되겠지요? 이를 이용해서 식을 다시 써주면

 

이제 라플라스 변환을 해주면

 

Y에 대해서 정리해주면

 

가 되 고 이것을 라플라스 변환 시켜  주면 됩니다. 예제1에서 본 형태들이 많기 떄문에 자세한 계산을 생략하고(직접 해보세요!) 값을 찾으면

 

가 됩니다. 이제 다시 원상태로 돌려주어야 겠죠? 물결 t 를 다시 t에대해서 써주면(평행이동)(삼각함수는 덧셈정리를 이용해 표현)

 

가 됩니다.

 

이렇게[ 라플라스변환을 이용하여 문제들을 풀어보았습니다. 그냥 푸는것보다 라플라스 변환표를 이용해 연산이 익숙해지면 훨씬 간단하게 미분방정식을 풀이할 수 있을겁니다.