#. Bernoulli Differential Equation(베르누이 미분방정식)

 

 

Convolution 을 다루었던 지난 글을 끝으로, 라플라스변환에 대한 주제를 마무리하고, ODE에 대한 모든 풀이들을 알아보았습니다. 그러나, 지금까지 글을 써오면서, 몇몇 방정식들이 빠진것같아, 추가적으로 알아야하는 미분방정식풀이들을 몇가지 적어보려 합니다. 그리고 Series(급수)를 이용한 풀이들은 따로 한번에 다룰 예정입니다.

오늘은 1차 linear ODE 에서 다루지 못한 Bernoulli 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다.

베르누이는 한명이 아니다, 가문이름이다

 

#0. Bernoulli Differential Equation(베르누이 미분방정식)

우리는 지금까지 linear 한 형태에 대해서 ODE를 풀이해왔습니다. 그렇다면 non-linear 한 형태의 식을 마주했을때, 여러가지 풀이 방법들이 있겠지만, 형태를 바꾸어서 푸는 방법도 존재할겁니다. 식을 linear 한 형태로 바꿔주는 방법이 바로 Bernoulli Equation(베르누이 방정식) 입니다. 바로 식을 통해서 확인해봅시다.

 

이런형태의 non-linear 한 ODE가 있다고 생각해봅시다. a가 0 과 1이 아니라면, 양변을 y 로 나누어도 linear 한 형태를 만들 수 없는 식입니다. 이런경우 적절한 치환을 통해서 이 식을 linear 하게 변환 해주어야하는 데 이때 쓰는 방법이 베르누이 미분방정식이 되겠습니다. 치환은 다음과 같이 합니다.

 

이렇게 두고 , 양변을 각각 x에 대해서 미분해봅니다.

y' 은 처음의 미분방정식에서 이항을 통해 만들어 낼 수 있습니다. 이것을 대입해줍니다.

 

괄호를 풀어주면

가 되어  u 에 관한 linear ODE가 됩니다.

 

#1. 예제

logistic equation

 비선형 미분방정식인 logistic equation(Verhulst equation)의 해를 구하시오.

을 풀어봅시다. 위에서 한 것과 같이 u로 치환해서 계산합니다.

 

이렇게 해서 u 에 관한 linear 한 ODE가 만들어졌습니다. 앞에서 배운대로 non-homogeneous 한 형태의 ODE를 푸는 방법을 적용하여 문제를 풀어주면 됩니다.

t는 시간에 관한 함수임을 의미합니다. h로 간소화 해준다음 이를 대입해서 마무리해주면 됩니다.