#. Modeling - Harmonic Oscilliation(조화진동)

 

#0. Modeling - Harmonic Oscilliation (조화진동)

 

이번글에서는 실제로 물리현상을 미분방정식을 통해서 나타내는 Modeling 에 관해 알아보도록 하겠습니다. 그중에서도 가장 기본적인 진동중에 하나인 탄성력에 대한 진동을 직접 식으로 나타내어 물체가 어떤 움직임을 갖는지를 미분방정식을 통해 알아보도록 하겠습니다.

구글에 모델링이라 검색하니 이런것만 뜬다.

 

 

#1. Modeling - Harmonic Oscilliation (조화진동)

 

조화진동은 저항이 없을때를 가정하고 나타나는 진동을 의미합니다. 공기저항이나, 마찰력이 존재하지 않기 때문에 특별히 건들지 않는한 영원히 진동하게 됩니다.

용수철진동의 예시

 

이 그림에서 용수철 상수를 K라고 하고, 질량은 m으로 두고 식을 세우는데, 훅의 법칙을 이용한 탄성력에 관한 식과 뉴턴의 운동방정식을 이용한 힘의 식을 같다고 두고 풀면 됩니다.

 

 

탄성력의 식과 뉴턴의 운동방정식을 같다고 놓게 되면 m, k 는 상수이기 떄문에 이 미분방정식은 이계상미분방정식이 되는 겁니다. 기억이 잘 안난다면 아래 포스팅을 한번 다시 읽어보고 오는 것도 좋습니다

 

https://lifelectronics.tistory.com/33 - 2계상미분방정식의 풀이

 

2계상미분방정식은 특성방정식을 세워서 풀이합니다. 그리고 그 방정식의 형태가 실근,중근,허근으로 나뉠때 각각 다른 형태의 해가 나오는 것을이용하여 풀이해주면 됩니다. 이제 특성방정식을 세워보면

 

특성방정식에서 허근이 나왔기 때문에, 오일러 공식을 이용하여 풀이하면 위와같은 해를 얻게 됩니다. 이것을 삼각함수 합성공식을 이용해서 묶어주게 되면

 

이렇게 해가 나오게 되고, 식의형태를 보면 t에 따라 cos함수를 따라서 진동하는 형태가 나오게 됩니다.

저항이 없기떄문에 감쇄되지 않고, 진폭도 바뀌지 않는것을 볼 수 있습니다. 이러한 진동을 Undamped system이라고 합니다.(감쇄가 없는 진동)

초기속도에 따라 그래프가 그려지고, 그래프의 형태는 cos이다.