# Modeling2 - damped system(감쇄진동)over,critical, under damping

 

 

지난 글에서는 저항(감쇄)이 없을때의 진동에 대해서 알아보았습니다.

이번글에서는 일반적인 현상과 비슷한, 저항이 있을때의 진동인 감쇄진동을 알아보도록 하겠습니다.

 

#0. damped system

 

감쇄하는 운동은 크게 3가지로 나뉩니다.

• Over damping
• Critical damping
• Under damping

이 3가지 형태는 미분방정식의 근의 형태에 따라 나뉘어집니다.

이번엔 저항이 존재한다

 

지난번에는 탄성력만 존재했지만, 이번엔 저항이 있다고 가정하고, 저항값을 추가해줍니다. 식으로 나타내면

 

F1은 탄성력이고, F2는 저항계수c를 이용한 저항값입니다.(속도에 비례)

이 두개를 더한 값이 전체 힘이 되고, 이 힘을 뉴턴의 운동법칙을 이용해서 같이 나타내주면

m , c , k 는 모두 상수이기때문에 2계상미분 방정식을 풀어주면 됩니다. 결국 특성방정식을 세우게 될텐데, 특성방정식의 근의 형태에 따라 3가지 종류의 진동이 나오게 되는 겁니다.

 

근호안의 값에 따라 근이 3가지 case로 나뉘게 됩니다.

 

#Case 1 : Overdamping(과도감쇄) -실근

 

근호안의 값이 양수가 되어 실근을 가지는 경우입니다.

 

이렇게 간단화 시키고 해를 나타내면

 

가 되고 t가 커질수록(시간이 지날수록) 0에 수렴하게 되는 모습을 보여줍니다.

 

 

#Case 2 : Critical Damping(임계감쇄) - 중근

근호안이 0이 되어 중근을 갖는 경우입니다. Reduction of order(계수내림)을 이용하여 해를 구하면

가 되고 마찬가지로 t가 커질수록 0으로 수렴하는 모습을 보여줍니다.

 

Case1 의 경우보단 빠르게 0 으로 수렴하는 모습을 보여줍니다. (항에 t가 곱해져있어서 그렇습니다.)

 

#Case3  : Under Damping(저감쇄) - 허근

근호안이 음수가 되어 허근일때의 해입니다.

해가 삼각함수로 구성되기 때문에 진동하면서 수렴하게 됨을 알 수 있습니다.