#4.1 Fourier Series(퓨리에 급수)

 

 

#0. Fourier Series(퓨리에 급수)

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라플라스에 이은 천재-퓨리에

 

공학에서는 여러가지 신호가 존재합니다. 그리고 신호는 파동, 즉 주기성을 띤 형태로 존재하는 경우가 많습니다. 이런 주기함수를 통해 미분방정식을 풀게 되는 경우가 많은데, 이를 조금 더 쉽게 풀이하고자 나온것이 바로 퓨리에 급수(Fourier Series)가 되겠습니다. 그리고 향후에 이를 통해 PDE(Partial differiential Equation),편미분 방정식을 푸는데에 이용됩니다.

퓨리에 급수 특징으로는

1. 모든 주기함수를 Sin과 Cos등의 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다.

2.  무한급수를 통해, 삼각함수를 계속 중첩(더해나가면, 무한번 보정하면)시키면, 원하는 함수의 모양으로 만들 수 있다. 가 되겠습니다.

그리고, 신호의 관점에서는 아날로그의 신호가 여러개의 파형이 중첩된 형태로 나타나는것으로 생각할 수도 있습니다. 아날로그 신호의 파형을 보면 표면이 깨끗하지 않은 경우가 많은데, 이것을 신호의 합성으로 볼 수 있다는 것이지요.

출처 : 위키피디아

 

오늘은 퓨리에 급수가 어떻게 구성되는지 식을 중심으로 알아보도록 하겠습니다.

 

#1. Fourier Series(푸리에 급수)

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기본식은 세개의 항으로 이루어지는데, 초기값과, sin함수와 cos 함수의 급수(시그마)형태로 이루어집니다.

그리고 보면 3개의 계수를 가지는데 이 계수들을 퓨리에 계수(Fourier Coefficient)라고 부릅니다. 이 계수들은 오일러 공식으로부터 유도되는데, 여기서는 결과값만 보고 가겠습니다.

#2. 예제

간단한 예제를 통해 어떤식으로 퓨리에 급수가 쓰이는지를 알아보도록 하겠습니다.

 

이렇게 2pi의 주기를 가진 함수가 있습니다. 이를 퓨리에 급수로 나타내어 봅시다.

1) a0구하기

간단한 함수라서 계산해보면 0 임을 알 수 있는데, 그보다 함수의 모양을 보고 바로 알 수도 있습니다. 바로 함수의 형태가 기함수(원점대칭)형태인데요, 이것을 ODD Function이라고 하고, Odd Function의 0을 기준으로 대칭인 범위를 잡았을때 적분값은 0이 됨을 이용한다면, 한눈에도 0 이 되는 것을 알 수 있습니다. 이 방법은 뒤에서 an, bn을 구하는데도 요긴하게 사용됩니다.

 

2)an 구하기

 

이함수는 sin이 곱해져있는형태인데, 기함수(Odd function)에 y축 대칭(Even Function)인 sin 함수가 곱해져 있기 떄문에 Odd Function이 유지됩니다. 따라서 바로 0임을 알 수도 있습니다.

3)bn 구하기

이번엔 cos도 기함수에 속하기 떄문에 기함수 x 기함수 = 우함수(Even function)이 되어서 값이 0 이 아님을 알 수 있습니다.

bn의 경우 n에 값에 따라서 계수가 바뀌게 됩니다. bn을 n=1 부터 대입하여 차례로 나열하면

 

 

가 됨을 알 수 있습니다 짝수번째에서는 0 홀수번째에서는 분모가 홀수 1,3,5,7....을 이어가는 함수가 되겠습니다. 원함수를 다시 써보면

 

 

가 됨을 알 수 있습니다. 여기서 x에 값을 넣어서 괄호안의 값이 얼마인지를 유추할 수 있습니다. sinx가 pi/2에서 정수값을 가지므로 pi/2를 대입하면

가 되어서 괄호안의 값이 pi/4가 됩니다. 그리고 이 급수는 부분합(Partial sum)으로도 나타낼 수 있는데 결국 이 부분합들의 합이 무한 급수로 합쳐지게 되어, f(x)를 구성하게 됩니다.

부분합을 계속 더해서 나타낸 그래프

위 그래프를 보면 점차 f(x)의 모습에 가까워지는것을 알 수 있습니다. 무한번 보정값을 주는 것이지요.

 

이렇게 퓨리에 급수는 함수를 삼각함수의 합으로 나타낼 수 있다는 아이디어를 전제로 하고 있습니다, 그리고 공학에서는 아날로그 신호를 분해해내는데 사용하게 됩니다. 다음글에서는 여러가지 특징과 함수의 특성에 관해 알아보도록 하겠습니다.