#3.7 Convolution(합성곱)

 

 

이번 글은 라플라스변환에서 덧셈이나 뺼셈은 선형성이 적용되지만, 곱셈은 어떻게 더 쉽게 처리할 수 있는가에 대한 글입니다. 라플라스의 곱셈에 관한 글이라고 생각하시면 될 것같습니다.

 

#0. Convolution (합성곱)

 

일반적으로, 라플라스에서 곱셈은 성립하지 않습니다.

이런식은 성립하지 않는 다는 것이지요. 그렇다면 과연 이 식을 성립하게 만들수 있는 식을 정의할 수 있을까? 에 대한 의문이 Convolution(합성곱)을 만든것입니다. 일단, 바로 식부터 보면

가 됩니다. H 가 s세상에서의 곱이고 이것을 t세상으로 가져왔을때 어떻게 계산되는지를 정의한 것입니다. 우리는 이것을 Convolution 이라고 부릅니다.

 

#1. Proof Convolution (합성곱의 증명)

짧게 증명과정을 살펴보도록 하겠습니다.

F와 G를 정의한 것입니다. 여기서 약간의 식조작을 해줍니다.

이렇게 두고, 문자를 치환한뒤, 적분구간을 조정해줍니다.

이제 FG를 계산해주면

F는 타우에 관한식만, G는 t에 관한 식만 다루기떄문에(독립적이기떄문에), G의 적분을 F의 적분 안으로 밀어넣을수 있습니다.(F입장에서 G의 적분값은 상수취급 된다는것이죠), 이렇게 되면 가 F안의 와 계산되면서 곱이 1이 되어 사라집니다.

 

우리가 원하는 형태는 가 바깥쪽으로 빠져나와줘서, 라플라스변환할떄의 형태가 나와주어야합니다. 그러기 위해서는 적분구간의 변경이 필요하고, 와 의 위치를 서로 바꿔주어야 됩니다. 이것을 바꾸기 위해선 적분구간을 바꿔주어야하는데, 지금 t는 타우~무한대 까지의 범위를 적분하고, 타우는 0~무한대를 적분하고 있습니다. 면적분의 관점으로 봤을때, 이것은 타우를 0~t까지 적분하고, t를 0~무한대로 적분하는 것과 적분구간이 동일합니다.  따라서 는 0~t , 는 0~ 무한대로 적분을 바꿔줄 수 있습니다.

(약간 말로 설명하기가 어렵습니다, 직접 펜으로 한번 그려보세요)

 

이렇게 되면 타우랑 관계없는 를 밖으로 뺴줄수 있고, 이것은 라플라스 변환식과 같아집니다.

안쪽의 적분값 전체를 h(t)라 잡아주면

가 되어서 최종적으로 H(s)라고 불릴 수 있게 되는 겁니다.

 

이렇게 해서 Convolution에 대해서 알아보았습니다. 수학적으로 크게 어려운 부분은 아니나, 라플라스 변환의 역변환시에, s에 대한식에 분모부분에 여러가지것들이 곱해진 경우가 많이 있습니다. 그때에 Convolution을 이용해서 계산하면 더욱 쉽고 편하게 변환이 가능하기에 숙지해두면, 변환하는데 큰 도움이 될 것입니다.