#2.7 Variation of Parameters(매개변수 변환법)

지난글에서는 2계미분방정식을 미정계수법을 통해 r(x)를 가정해서 푸는 방법을 알아보았고, 오늘은 그보다는 덜 쓰이지만, 어떤 방정식이 나오든 간에 계산이 좀 더 복잡하지만, 강제로라도 풀 수있는 Variation of Parameters(매개변수 변환법)에 대해서 알아보겠습니다. 이 방법은 Wronskian(론스키안)을 이용한 풀이이므로, 이전의 글을 참조해서 같이 보시면, 더욱 도움되실겁니다.

참조링크

https://lifelectronics.tistory.com/36  (#2.5 Wronskian론스키안)

 

#0. Variation of Parameters(매개변수 변환법)

 

2계미분방정식에서 r(x)가 좀 친숙한 형태가 아닐경우에 Homogeneous 한 해는 구할수 있지만, Nonhomogeneous 한 해는 구하기가 어려울 경우에 이용하는 방법입니다. 약간 이전의 방법론들중에서 비슷하다고 느낄수도 있습니다. Reduction of order(계수내림)에서 알아봤듯이, basis에 무언가를 곱해서 새로운 basis 를 만든다는 것에 착안하여, 매개변수 변환법도 Yh에서 나온 y1, y2 basis의 앞쪽에 u(x), v(x)를 곱해서 새로운 basis가 나오도록 하는것이 매개변수 변환법입니다. 이를통해 Yp를 구할 수 있다는 것이 핵심 아이디어입니다.

 

#1. 유도과정

 

이 유도과정에는 상당히 복잡한 계산과 가정이 들어갑니다. 물론 저도 왜 그렇게 가정해야만 하는지 엄밀한 증명을 할 수 있으면 좋겠으나, 실력이 안되고 (ㅡ.ㅡ), 공학수학의 목적이 수학적증명보다는 그를 이용하는 측면에 있기에, 유도 과정에 있어서 조금 특수한 가정이 들어가라도, 여기서는 잠시 가정을 인정하고 결과로 넘어가길 바랍니다.

앞에서 Yp를 가정했기에 미분을 통해 미분방정식에 대입해줍니다.

미분방정식에 대입하면

 

여기서 앞의 두항은 y1, y2 가 들어간 미분방정식이기떄문에 homogeneous 한 해로써 0 이 되고 남는것은 뒤쪽의 항들과 P로 묶인항이 남게 됩니다. 여기서 P로 묶인 괄호안의 항을 이라고 가정하고 풀이를 진행해봅시다. 여기서 약간의 식조작이 필요합니다. 괄호안의 항을 1반식이라고 하겠습니다. 그리고 이 1번식을 미분한것을 2번식이라고 하겠습니다.

위가 1번식 아래가 1번식을 미분한 2번식입니다. 2번식을 다시 위로 올라가서 P앞쪽항에다가 대입해보면 사라지는것들이 있을겁니다. 그것을 정리하면

이 됩니다. 이것을 3번식이라 하겠습니다.

 

1번식에 y2'을 곱하고, 3번식에는 y2를 곱한후, 3번식에서 1번식을 빼면

마지막식에 괄호안이 어디선가 본 것같은 느낌이죠? 론스키안의 형태입니다. W를 이용해서 다시 써보면

 

이제 u'의 dx를 활용하여 변수분리의 형태를 만들수 있기때문에 적분해주시면 됩니다.

마찬가지로 V도 구할수 있습니다. 1번식에 y1'을 곱하고 3번식에는 y1을 곱해서 마찬가지방법으로 V를 구해주면

가 됩니다. 당연히 r은 연속이어야 적분이 가능하겠죠? 이렇게 해서 u와 v를 구해서 특수해 Yp를 구할수 있게 됩니다. 여기서 자세히 보시면, u와 v는 P와 Q식에 관계가 없음을 알 수 있습니다. 이전에 배웠던 미정계수법보다 더 포괄적으로 여러가지 미분방정식을 풀 수 있다는 것이지요.

 

#2. 이렇게 해서....

이렇게 해서 2계미분방정식에 대한 기본적인 풀이방법들을 모두 소개했습니다. Homogeneous한 해는 오일러코시방정식이나, 특성방정식을 이용해서 구하고, Nonhomogeneous 한 해는 미정계수법과 매개변수변환을 이용하여 특수해를 구한 후, 중첩의 원리에 따라 합이 2계미분방정식의 해가 되는 것입니다.