#2.5Wronskian(론스키안)

2계선형미분방정식을 들어가기에 앞서 중첩의 원리와 선형성에 대해서 언급한 적이 있었습니다. 그 중 선형성을 보다 더 쉽게 판단하는 방법이 있는데, 바로 Wronskian 해법입니다.

#0. Linearly independent, dependent(선형독립, 선형종속)

 

이전의 2계미분방정식에서 homogeneous 한 방정식에 대해서 중첩의 원리를 적용하였고, 그것이 가능한 이유는 선형성(Linearly)으로 부터 출발하였습니다. linearly independent에 대한 정의를 다시 보자면, 이계미분방정식의 해인 y1, y2가 아래의 식을 만족할때

이 식을 만족시키는 K의 값이 오직  일때만 성립하는것이 linearly independent라고 했습니다. 즉 y1에 상수배를 해서 y2를 만들수 없다는 것이지요.

하지만 겉으로 보기에 식의 형태가 삼각함수나 초월함수의 형태로 되어있다면, 상수배를 해서 y2를 만들 수 있을지 없을지가 애매모호해집니다. 가령, sinxcosx 와 sin2x 는 서로 삼각함수 공식을 이용하면 상수배의 관계에 있기때문에 linearly dependent(선형종속)가 됩니다. 이런식으로 겉으로 형태로만 봐서는 알기가 어렵기 떄문에 이를 조금 더 쉽게 알아볼 수 있는 방법이 Wronskian(론스키안) 이 되겠습니다.

 

#1. Wronskian

 

 P(x)와 Q(x) 가 어떤 열린구간 I 에서 연속일때, y1, y2의 Wronskian값이 0이 아닌것과, linealy d independent 한 것은 충분 관계에 있습니다. 론스키안은 아래의 수식처럼  계산됩니다.

 

위처럼 조건이 만족될 때에 y1, y2 는 서로 linearly independent 합니다. 하지만 반대로, Wronskian 값이 0 이라면 linearly dependent 하지는 않습니다. 위의 명제의 역인 "linearly dependent 하다면 Wronskian 값이 0 이다" 는 성립합니다. 론스키안은 행렬식으로도 나타낼 수 있습니다.

 

 

 #2. 그래서?

앞서서, homogeneous 한 2계미분방정식의 풀이에 대해서는 여러가지를 다루어보았습니다. 이제 Non-homogeneous 한 미분방정식의 해를 구해야할텐데, 이도 마찬가지로, 방법이 여러가지가 있습니다. 미정계수법이 가장 흔하게 쓰이며, 그 중 론스키안을 이용하여 풀이를 하는 경우도 있습니다. 이제 다음 글에서부터는 Non-homogeneous(비제차)한 형태의 미분방정식의 풀이에 대해서 알아보도록 하겠습니다.