#2.2 Second-Order ODE 계수내림 (Reduction of Order)

지난 글에서 2계 미분방정식을 풀때에 적용하는 기본 법칙인 중첩의 원리와 선형성에 대해서 알아봐습니다. 이제 본격적으로 2계 미분방정식을 풀이하는 방법들을 다뤄볼텐데, 이번 글에서는 그중 계수내림(Reduction of Order)에 대해서 알아보겠습니다.

 

1. 계수내림 ( Reduction of Order)

지난 글에서 우리는 y1 ,y2 를 구하고 각각을 basis 라고 했습니다. 그렇다면 우리는 y1, y2 를 구하는데에 집중해야겠지만, 그 보다 더 쉬운 상황을 먼저 알아보겠습니다. 그 상황이라 함은 y1을 먼저 알고 있는 상황입니다. y1을 알고 있는 상황에서 y2를 구하는 것인데,  이 방법을 계수내림(Reduction of Order)이라고 합니다.

일단 기본 식, 그중에서 homogeneous 한 상황을 살펴보면

이중에서 미리 y1이라는 basis를 알고 있다고 가정합시다. 그렇다면 우리의 목표는 y2를 구하는 것입니다. 하지만 y1과 y2는 선형독립(linearly independent)이기 때문에 y1에 상수를 곱해서는 y2를 만들 수 없습니다. 따라서 y1에 어떤 식 u를 곱해서 y2를 만들자는 것에서 아이디어가 출발합니다.

자 그럼 y2 = uy1가 되고 이것을 원래식에 대입하여 보겠습니다.

이것을 원래식에 대입하여 정리하면

여기서 마지막항이 y1를 대입했을때 원식과 같기 떄문에 값이 0 이 됩니다. 따라서 남은 식은

U에 대한 식으로 정리되었습니다. 이제 변수분리를 통해 방정식을 풀 수 있습니다. u를 치환하여 1계미분방정식의 형태로 바꾸어보면

절대값이 있지만 지수함수의 형태를 띠고 있기 떄문에 항상 양수이므로 절대값을 벗겨낼 수 있습니다. 마지막으로 식을 정리하여 보면

가 됩니다. 계산을 통해 U를 구하였다면 치환한것을 다시 되돌려 마지막으로 x에 대해 다시 적분하면 u를 구할수 있고 y2를 구할 수 있게 됩니다.

 

이렇게 계산이 마무리가 되고, 그렇다면 여기서 드는 의문은 과연 y1을 주어지는 상황이 있는 것인가? 라고 반문할 수 있습니다. 물론 그런 상황도 존재하게 되겠지만, 계수내림(reduction of order)은 다음글에서 볼 특성방정식에서 중근이 나오는 상황을 타파하기 위해 미리 배우는 과정입니다.