#1.4 First order linear ODE(1차 선형미분방정식)

지난글에서 적분인자를 마지막으로 변수분리를 통해 미분방정식을 푸는 방법들에 대해서 알아보았습니다.

 

지금부터는 조금 더 정형화된 미분방정식들의 풀이를 알아보고, 실제로 많이 쓰게되는 미분방정식들을 알아보도록 하겠습니다.

이번글에서는 가장 기본적인 형태인 1차 선형미분방정식에 대해서 논해보겠습니다.

 

0. 1차 선형미분방정식(First order linear ODE)

이 미분방정식은 이런 형태를 가집니다.

P와 R은 x에 대해 연속인 함수이며, y의 차수가 1차이기 떄문에 선형(linear)미분방정식이라고 부릅니다.

이 미분방정식을 풀기 위해선 약간의 센스가 필요한데, 식의 형태를 잘 보면 y를 미분한것과 그냥 y 가 있습니다.

뭔가 형태가 어디서 본것처럼 느껴질수도 있는데, 미분법중에서 곱의 미분을 쓰게 되면 앞뒤로 미분하게 되면서 y' 과 y 가

동시에 나오게 됩니다. 이를 이용하여 역으로 형태를 맞춰주어서, 적분을 해보자 라는 아이디어에서 출발합니다.

 

그리고 이 미분방정식은 r(x)가 0이냐 아니냐에 따라 푸는 방법이 두가지로 갈리는데 linear한 특성때문에 r(x)가 0 일떄의 해와

r(x)가 0이 아닐때의 해를 덧셈으로 합치면 미분방정식에 대한 해가 나오게 됩니다. linear한 특성에 대해서는 다음에 더 자세히

다뤄보도록 하고 지금은 미분방정식을 풀이하는데에 집중해보겠습니다.

 

1-1 Homogeneous Linear ODE (제차 미분방정식)

r(x)=0일때의 미분방정식을 의미합니다. r(x)가 0이면 풀이는 변수분리가 가능하기 떄문에 풀이가 매우 쉽습니다. 앞에서 배운 변수분리를

통해 풀이할 수 있습니다. y' 으로 식을 쓰면 잘 안보이기에 dy/dx 를 이용하여 표현해보겠습니다.

마지막 줄에 쓰인 저 해를 일반해(general solution) 이라고 합니다.

추가적으로 y=0이라면 당연히 해가 성립하기 떄문에 이때의 해는 trivial solution 이라고 합니다.

 

1-2 Non-Homogeneous ODE(비제차 미분방정식)

이번에는 r(x)가 0 이 아닐때의 해를 생각해봅시다.

이제는 위에서 언급했던 아이디어를 적용시켜봅니다. 주어진 식이 곱의 미분에서 파생되었다고 생각해보면 y'앞에 무언가 곱해져있는 형태

여야 할겁니다. 즉 인위적으로 역과정을 위해 F라는 식을 곱해서 보면

가 되고 이제 좌변을 곱의 미분형태라고 생각하게 되면 FP가 F'이 되면 적분이 가능해집니다. F' = FP로 두고 계산을해보면

렇게 F 값을 구할 수 있습니다. F를 조금 간소화 시킨후 우리가 구하고자 하는 미분방정식에 대입해서 계산을 이어가 보면

 

 가장 끝 두항을 적분을 통해 역과정을 해보면

 

가 됩니다. ( 상수는 결국 그냥 마지막에 붙여도 됩니다.) 이 해는  특수해(particular solution)이라고 합니다.

즉 미분방정식의 해는 1-1에서 구한 것과 1-2 에서 구한것 모두를 합한 값 이 되므로

가 최종적인 해가 됩니다.