#1.1 First order ODE(1계미분방정식)-변수분리

0. 미분방정식

공학수학은 어떻게보면 미분방정식을 푸는 방법들을 다루는 과목이라고 할 수 있다.

미분방정식이란 도함수가 포함된 방정식들을 말하는데 고등과정에서야 적분이나 미분을 통해서만 도함수를 해석하고

나타낼 수 있었지만, 공학수학에서는 여러가지 미분방정식의 형태를 나누어, 풀이방법을 논하게 된다.

미분방정식은 크게 2가지로 나뉘는데 바로 변수가 하나뿐인 ODE(Ordinary Differential Equation)와 2개이상의 변수로

미분하는PDE(Partial Differential Equation)로 나누어진다. ODE를 푸는 방법을 통해 PDE를 푸는방법으로 확장하게 되므

로 먼저 ODE를 푸는 방법에 대해서 논하여 보자. 오늘은 그 방법들중 변수분리(separate variables)에 대해 알아보겠다.

* ODE 예시

 

위와같이 한 변수에 대해서만 미분한것들을 ODE(상미분방정식)이라고 한다.

PDE의 경우엔 분모쪽의 변수가 여러개가 될수 있겠다.

 

1.변수분리

변수분리는 가장 시도해보기 좋은 방법중 하나입니다.  dx와 dy 를 x는 x끼리 y 는 y끼리 모은후에 각각의 변을 적분하는 방법입니다.

식의 형태가 단순하기 떄문에 바로 예제를 통해 확인해보겠습니다.

예제1.1-1

위와같이 y는 y끼리 x는 x끼리 정리하여 dx dy로 양변을 적분하는 방법을 변수분리라고 한다. 식의 형태가 한 눈에 들어옵니다.

가장 기본적인 접근 방법이기도 하지만, 식의 형태가 복잡해지기 시작하면 (분모가 수식이 들어간다거나) 어려워질 수 있다.

추가적으로는 여기서 초기값이 주어진다면 C를 결정해서 더 정확한 해를 구할 수 있게 됩니다.

 

2.치환형 변수분리

변수분리가 안되는것 같은 식인데도 치환을 통해 변수분리를 할 수 있는 식들이 존재합니다. 이 형태가 식이 눈에 잘 들어오지 않습니다.

변수분리가 안될때에 한 번 정도 더 고민하면서 해볼 만한 방법입니다.

예제1.3-8

여기서 y+4x=u로 치환하여 대입하면 한문자에 대해서 만들어준다면 변수분리가 가능해집니다.

이렇게 치환을 통해 한문자에 대해서 정리하여 변수분리가 되기도 합니다. 이 식의 형태는 눈에 잘 띠지 않기 때문에 의식적으로

기억해 두어야 시도할 수 있습니다. 다음글에서는 또다른 방법을 알아보겠습니다.