#1.3 Integrating Factor(적분인자)

 

0. Integrating Factor(적분인자)

지난 글에서는 완전미분방정식에 대해 알아보았습니다. 그런데, 형태는 완전미분방정식이지만, 만약 밑의 식처럼 완전미분방정식이 안된다면

 

어떻게 처리해야하는지에 대해서 알아보겠습니다.

방법은 어찌보면 간단한데요, 무언가를 곱해서 위의 식을 만족하도록 하는 것입니다. 우리는 그 곱해야하는 그 무언가를 Integrating Factor

(적분인자)라고 하고, 이를 구하는 방법에 대해 논해보겠습니다.

 

1. 구하는방법

 

곱해야 하는것을 F라고 했을경우, 미분방정식을 다시 써보면

 

에서 위의식처럼 똑같이 미분해보면

을 만족해야 완전미분방정식이 되어 풀이가 가능해집니다. 즉 이 식을 만족하는 F를 찾아야하는 것이죠

곱미분의 형태로 식을 써보면

를 만족해야합니다.

하지만 여기서 F가 x와 y가 모두 들어간 식일경우 

풀이가 매우 어려워지기 때문에,

 F가 x 혹은 y 하나의 변수로만 의존되어있다고 

가정하고 풀이를 진행합니다. 

즉 F(x)로 적분인자를 가정하고 풀이해보면 y에 대해 

미분한 값들은 모두 0이 되어 식을 정리하고

 

양변을 FQ로 약분하면

가 되고 Q항을 좌변으로 옮겨 x에 대해 적분하면

 

여기서 좌변을 R로 치환시키면

이고 정리하면

 

가 됩니다. 마찬가지로 반대로 F가 y에 의존한 식이라면

 

좌변을 R*라고 두면

가 됩니다. 

이제 F를 원식에 곱해서 완전미분방정식인지 검증하게 되면 완전미분방정식이 됨을 확인 할 수 있고,

 

그 이후는 이전의 미분방정식을 푸는 방법과 동일합니다.