#2.1 Second-order ODE (2계미분방정식) 중첩의원리, 선형성의 원리

지난 글을 끝으로 1계미분방정식의 풀이 과정에 대해서 논했습니다. 이제 2계, 3계 4계...이런식으로 더 일반적인 상황에서의 미분방정식을 다루게 됩니다. 하지만 2계미분방정식을 풀 수 있다면 3,4,5,..n계 미분방정식은 모두 풀이가 동일하기 떄문에 2계까지만 알고 있어도 그 이후의 차수를 풀 수 있습니다(물론 일반적인상황에서는 2계가 최대일 가능성이 높습니다.) 오늘은 그 2계미분방정식을 풀기 전에 기본적으로 적용되는 법칙들을 알아 보도록 하겠습니다.

 

0. 중첩의 원리(Superposition, Linearity principle)

 

 

1계 미분방정식과 마찬가지로 2계 미분방정식은 2번미분한 값으로 부터 시작한 함수들이 존재하는 방정식이다. 이중 앞에서 배웠다시피, f(x)=0인경우를 homogeneous 라 하고 아닌경우를 nonhomogeneous 라고 합니다.

그런데 homogeneous 한 경우에 한해 중첩의 원리(superposition)(혹은 linearity principle) 이 성립합니다. 예를들면 위식의 해가 y1, y2 라 한다면, y1과 y2를 더한고 각각을 상수배해준  도 해가 된다는 겁니다. 증명하는 방법이야 대입하보면 바로 알 수 있습니다. 어떻게 보면 당연하기도 합니다, 각각이 성립하기떄문에 상수를 곱해도 우변이 0이기에 당연히 성립하고, 더해서 넣는다고 해도 더한것이기 떄문에 분배법칙을 이용하면 0이 됨을 알 수 있습니다. 하지만 non homogeneous 에서는 성립하지 않습니다.

 

1. 일차독립 (Linear Independent)

 가 있을때 이 두 함수가 일차독립이라고 한다면,

을 만족하는 C1, C2는 0일때 밖에 없을때, 즉 f1, f2 가 상수배로 이루어지지 않을때 일차독립이라고 합니다.

식으로 표현하면

가 된다. 반대로 서로 상수배라면 Linear Dependent 일차 종속이 되는것이지요. 즉 f1에 어떤 상수를 곱해서 f2를 만들수 없을때 일차독립이 되는것입니다.

더 나아가 y1, y2 가 서로 일차독립일때 이것들을 해의 기저(basis)라고 하게 됩니다.

 

다시 이 식으로 돌아와서 생각해보면 이식의 homogeneous의 해는 Yh= C1y1 + C2y2(일반해) 가 되고 non homogeneous를 만족하는 해는 Yp( (특수해 : particular solution))이 됩니다.

그리고 non homogeneous의 일반해는 Yh + Yp로 이루어집니다. (어차피 Yh의 경우엔 값이 0 이 되니깐 더해져도 상관 없겟죠?)

즉 2계 미분방정식의 해는 일반해와 특수해의 합인

로 이루어집니다. 이게 의미하는 바를 공학적으로 보자면, homogeneous일때의 해는 어떤 input(입력값)이 없을때 나타나는 반응들을 의미하고, non homogeneous일때의 해는 input 이 존재할떄의 반응을 나타냅니다. 이번에 구한 해는 input 이 있을때 나타나는 반응들을 보게되는 식이란 것이지요.