#1.2 Exact Differential Equation(완전미분방정식)

1. Exact Differential Equation(완전미분방정식)

우리는 지난 글에서 변수분리를 통해 미분방정식을 푸는 형태에 대해서 알아보았고, 이번 글에서는 어떤 함수 u(x,y)의 미분방정식에 대해서

알아보겠습니다.

 

미적분학에서 u(x,y) 가 연속인 편도함수(partial derivative)를 가진다면 u의 전미분을 이렇게 정의했습니다.

이렇게 편미분을 통해서 나타나게 됩니다. 여기서 좌변의 첫항을 M 두번째항을 N으로 간단하게 표현한다면

(u(x,y)=상수 형태일때를 가정했을때입니다)

이때 위식이

이라면 우리는 이 방정식을 Exact 하다라고 하고, 이 방정식을 완전미분방정식(Exact ODE)라고 합니다.

 

2. 완전미분방정식(Exact ODE)인지 확인하는 방법

확인하는 방법은 간단합니다 .M을 y로 편미분, N을 X로 편미분 해서 같은지를 확인하면 됩니다. 그것이 성립하는 이유는

 

(M, N 이 연속이고 1계 편미분방정식이 연속일때 이렇게 분모의 미분순서를 바꿀 수 있습니다.)

이렇게 간단히 확인해 볼 수 있습니다. 이 이후에는 적분을 통해 풀어내면 됩니다. 이렇게 식에 dx dy가 존재해서 변수분리인가 싶지만, 변수

분리가 쉽지 않은형태일 경우, 완전미분 방정식을 이용해서 미분방정식을 풀이 할 수 있게 됩니다.

 

3.풀이방법

M을 x에 대해  식을 적분하고, 그로부터 파생되는 미지의 항을 u의 y에대한 편미분을 통해 비교하여 얻어냅니다.

여기서 나오는 K는 y에대한 식입니다. 일반 함수를 적분했을 경우 나오는 상수항역할이 여기서는 x,y에 대한 식을 적분하였기때문에

y에 대한 식이 상수항의 역할을 하게 됩니다.   반대로 N을 적분하면

이렇게  x에 관한식이 상수항 역할을 하는 식으로 나오게 됩니다.

자 이제 K(y)항을 찾기 위해 u를 다시 y에 대해 편미분 한뒤, N과의 비교를 통해 K'(y)값을 알아 내면 됩니다.

이렇게 마지막에 다시 K'(y)를 적분하여 얻어내면 최종적으로 u 를 찾을 수 있게 됩니다.

 

4. 예제