공학이야기

지난 글을 끝으로 2계미분방정식까지의 풀이법에 대해 알아보았고, 이번 글은 약간 부록편에 해당하는 고계미분방정식입니다. 일반적으로 고계(고차)라하면 3차 이상의 미분방정식을 의미하고, 풀이법은 2계미분방정식에서 배웠던 여러가지 스킬들을 확장하는 방법으로 이루어집니다. 물론, 공대수학을 하며서 2계 이상의 미분방정식을 풀게될 일은 거의 없을테지만, 그래도 모든 미분방정식에 기본적인 접근 방법을 습득한다고 생각하고, 오늘 글을 읽어주시면 감사하겠습니다. 이번글에서 주로 쓰이는 방법들은 Wronskian (https://lifelectronics.tistory.com/36) 상계수미분방정식(특성방정식) (https://lifelectronics.tistory.com/33) 오일러-코시 방정식 (https://..

지난글에서는 2계미분방정식을 미정계수법을 통해 r(x)를 가정해서 푸는 방법을 알아보았고, 오늘은 그보다는 덜 쓰이지만, 어떤 방정식이 나오든 간에 계산이 좀 더 복잡하지만, 강제로라도 풀 수있는 Variation of Parameters(매개변수 변환법)에 대해서 알아보겠습니다. 이 방법은 Wronskian(론스키안)을 이용한 풀이이므로, 이전의 글을 참조해서 같이 보시면, 더욱 도움되실겁니다. 참조링크 https://lifelectronics.tistory.com/36 (#2.5 Wronskian론스키안) #0. Variation of Parameters(매개변수 변환법) 2계미분방정식에서 r(x)가 좀 친숙한 형태가 아닐경우에 Homogeneous 한 해는 구할수 있지만, Nonhomogeneous..

지난 글을 끝으로 Homogeneous 한 형태의 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아보았고, 이제 Nonhomogeneous 한 형태의 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다. R(x)가 0이 아닌 형태를 의미하는데, 오늘은 그 풀이법 중에서 가장 대표적인 방법, 미정계수법 에 대해서 알아보겠습니다. #0. Nonhomogenous ODE(비제차 미분방정식) 일단 Nonhomogeneous 의 경우 중첩의 원리가 homogeneous한 해와 Nonhomogeneous 한 해의 결합으로 이루어집니다. 즉, 일반해와 특수해의 합으로 해가 결정되는 것이지요, 따라서 기본적으로 해를 구할때 두가지 경우 모두를 계산하신 후에 합쳐주는 과정을 거쳐야합니다. 이전 글에서는 Homogeneous 한 경우 오일러 코시방정식이..

2계선형미분방정식을 들어가기에 앞서 중첩의 원리와 선형성에 대해서 언급한 적이 있었습니다. 그 중 선형성을 보다 더 쉽게 판단하는 방법이 있는데, 바로 Wronskian 해법입니다. #0. Linearly independent, dependent(선형독립, 선형종속) 이전의 2계미분방정식에서 homogeneous 한 방정식에 대해서 중첩의 원리를 적용하였고, 그것이 가능한 이유는 선형성(Linearly)으로 부터 출발하였습니다. linearly independent에 대한 정의를 다시 보자면, 이계미분방정식의 해인 y1, y2가 아래의 식을 만족할때 이 식을 만족시키는 K의 값이 오직 일때만 성립하는것이 linearly independent라고 했습니다. 즉 y1에 상수배를 해서 y2를 만들수 없다는 것..

#0. Euler-Cauchy Equation(오일러-코시 방정식) 2계 미분방정식의 또다른 형태인 오일러 코시 방정식에 대해서 풀이해봅시다. 지난 글에서는 2계 미분방정식 중에서 계수가 상수인것에 대해서 풀이해보았습니다. 이번엔 계수가 x에 관한 식일때, 오일러와 코시가 미리 연구해둔 방정식을 통해 풀이해보도록 하겠습니다. 이것이 오일러-코시 방정식의 형태입니다. 우리는 이 방정식의 해를 구하기는 어렵고, 오일러와 코시가 미리 구해둔 근을 가지고 풀이해보겠습니다. 바로 그 근은 입니다. 이것을 대입하여 식을 정리하면, x가 0이 아니라고 가정하고, 식을 정리하면 위와같이 m에 관한 2차식이 나오게 됩니다. 이전의 상미분 방정식과 마찬가지로 이차식의 근의 종류에 따라서 해가 결정됩니다. #1. 서로 다른..