공학이야기

지난 글을 끝으로 2계미분방정식까지의 풀이법에 대해 알아보았고, 이번 글은 약간 부록편에 해당하는 고계미분방정식입니다. 일반적으로 고계(고차)라하면 3차 이상의 미분방정식을 의미하고, 풀이법은 2계미분방정식에서 배웠던 여러가지 스킬들을 확장하는 방법으로 이루어집니다. 물론, 공대수학을 하며서 2계 이상의 미분방정식을 풀게될 일은 거의 없을테지만, 그래도 모든 미분방정식에 기본적인 접근 방법을 습득한다고 생각하고, 오늘 글을 읽어주시면 감사하겠습니다. 이번글에서 주로 쓰이는 방법들은 Wronskian (https://lifelectronics.tistory.com/36) 상계수미분방정식(특성방정식) (https://lifelectronics.tistory.com/33) 오일러-코시 방정식 (https://..

지난 글을 끝으로 Homogeneous 한 형태의 미분방정식을 푸는 방법에 대해 알아보았고, 이제 Nonhomogeneous 한 형태의 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다. R(x)가 0이 아닌 형태를 의미하는데, 오늘은 그 풀이법 중에서 가장 대표적인 방법, 미정계수법 에 대해서 알아보겠습니다. #0. Nonhomogenous ODE(비제차 미분방정식) 일단 Nonhomogeneous 의 경우 중첩의 원리가 homogeneous한 해와 Nonhomogeneous 한 해의 결합으로 이루어집니다. 즉, 일반해와 특수해의 합으로 해가 결정되는 것이지요, 따라서 기본적으로 해를 구할때 두가지 경우 모두를 계산하신 후에 합쳐주는 과정을 거쳐야합니다. 이전 글에서는 Homogeneous 한 경우 오일러 코시방정식이..

이제 본격적으로 2계 미분방정식을 풀어보는 방법에 대해 알아보겠습니다. 이번 글은 그중에서 쉬운 버전인 상수계수를 가지는 2계 미분방정식에 대한 이야기입니다. #0. 2계상미분방정식(Second-Order ODE with Constant Coefficient) a, b는 상수인 계수를 가지는 2계미분방정식의 형태입니다. 이 미분방정식을 풀기위해서는 이전의 1계미분방정식에서 해의 형태를 자세히 생각해보면 이 미분방정식의 해의 형태는 의 형태를 가졌습니다. 이 아이디어로부터 2계미분방정식의 해를 비슷한 형태로 미리 선택한 후 방정식을 풀이하게 됩니다. 즉 해의 형태를 를 두고 풀이해보겠습니다. 위 식을 미분방정식에 대입하면 e에 대한 함수는 항상 양수이기 때문에 식을 0을 만들기 위해서는 괄호안의 이차방정식..

지난 글에서 2계 미분방정식을 풀때에 적용하는 기본 법칙인 중첩의 원리와 선형성에 대해서 알아봐습니다. 이제 본격적으로 2계 미분방정식을 풀이하는 방법들을 다뤄볼텐데, 이번 글에서는 그중 계수내림(Reduction of Order)에 대해서 알아보겠습니다. 1. 계수내림 ( Reduction of Order) 지난 글에서 우리는 y1 ,y2 를 구하고 각각을 basis 라고 했습니다. 그렇다면 우리는 y1, y2 를 구하는데에 집중해야겠지만, 그 보다 더 쉬운 상황을 먼저 알아보겠습니다. 그 상황이라 함은 y1을 먼저 알고 있는 상황입니다. y1을 알고 있는 상황에서 y2를 구하는 것인데, 이 방법을 계수내림(Reduction of Order)이라고 합니다. 일단 기본 식, 그중에서 homogeneous..