공학이야기

지난 글에서는 저항(감쇄)이 없을때의 진동에 대해서 알아보았습니다. 이번글에서는 일반적인 현상과 비슷한, 저항이 있을때의 진동인 감쇄진동을 알아보도록 하겠습니다. #0. damped system 감쇄하는 운동은 크게 3가지로 나뉩니다. Over damping Critical damping Under damping 이 3가지 형태는 미분방정식의 근의 형태에 따라 나뉘어집니다. 지난번에는 탄성력만 존재했지만, 이번엔 저항이 있다고 가정하고, 저항값을 추가해줍니다. 식으로 나타내면 F1은 탄성력이고, F2는 저항계수c를 이용한 저항값입니다.(속도에 비례) 이 두개를 더한 값이 전체 힘이 되고, 이 힘을 뉴턴의 운동법칙을 이용해서 같이 나타내주면 m , c , k 는 모두 상수이기때문에 2계상미분 방정식을 풀어..

#0. Modeling - Harmonic Oscilliation (조화진동) 이번글에서는 실제로 물리현상을 미분방정식을 통해서 나타내는 Modeling 에 관해 알아보도록 하겠습니다. 그중에서도 가장 기본적인 진동중에 하나인 탄성력에 대한 진동을 직접 식으로 나타내어 물체가 어떤 움직임을 갖는지를 미분방정식을 통해 알아보도록 하겠습니다. #1. Modeling - Harmonic Oscilliation (조화진동) 조화진동은 저항이 없을때를 가정하고 나타나는 진동을 의미합니다. 공기저항이나, 마찰력이 존재하지 않기 때문에 특별히 건들지 않는한 영원히 진동하게 됩니다. 이 그림에서 용수철 상수를 K라고 하고, 질량은 m으로 두고 식을 세우는데, 훅의 법칙을 이용한 탄성력에 관한 식과 뉴턴의 운동방정식을 ..

Convolution 을 다루었던 지난 글을 끝으로, 라플라스변환에 대한 주제를 마무리하고, ODE에 대한 모든 풀이들을 알아보았습니다. 그러나, 지금까지 글을 써오면서, 몇몇 방정식들이 빠진것같아, 추가적으로 알아야하는 미분방정식풀이들을 몇가지 적어보려 합니다. 그리고 Series(급수)를 이용한 풀이들은 따로 한번에 다룰 예정입니다. 오늘은 1차 linear ODE 에서 다루지 못한 Bernoulli 미분방정식에 대해서 알아보겠습니다. #0. Bernoulli Differential Equation(베르누이 미분방정식) 우리는 지금까지 linear 한 형태에 대해서 ODE를 풀이해왔습니다. 그렇다면 non-linear 한 형태의 식을 마주했을때, 여러가지 풀이 방법들이 있겠지만, 형태를 바꾸어서 푸는..

이번 글은 라플라스변환에서 덧셈이나 뺼셈은 선형성이 적용되지만, 곱셈은 어떻게 더 쉽게 처리할 수 있는가에 대한 글입니다. 라플라스의 곱셈에 관한 글이라고 생각하시면 될 것같습니다. #0. Convolution (합성곱) 일반적으로, 라플라스에서 곱셈은 성립하지 않습니다. 이런식은 성립하지 않는 다는 것이지요. 그렇다면 과연 이 식을 성립하게 만들수 있는 식을 정의할 수 있을까? 에 대한 의문이 Convolution(합성곱)을 만든것입니다. 일단, 바로 식부터 보면 가 됩니다. H 가 s세상에서의 곱이고 이것을 t세상으로 가져왔을때 어떻게 계산되는지를 정의한 것입니다. 우리는 이것을 Convolution 이라고 부릅니다. #1. Proof Convolution (합성곱의 증명) 짧게 증명과정을 살펴보도록..

#0. Dirac Delta Function(디렉델타함수) 디렉델타함수는 특정값에서만 값이 무한대로 튀어오르는 함수를 말합니다. 아주 오래전 수학계에서는 함수로 정의되지도 않았습니다. 그리고 우리가 배울 정의도 수학적 정의가 아닌, 약속에 의한 정의를 배우게 될겁니다.함수식은 아래와 같이 정의됩니다. 또한, 이 함수의 적분값은 1로 정의 됩니다. 이 함수는 편의를 위해 제작된 함수이기 떄문에 적분이 원래는 안되지만, 된다고 가정을 하고 그 값을 1로 둔 것입니다. 적분의 값이 1인것은 대표적으로 확률이 있습니다. 확률의 합도 1이기때문에 이 함수는 어떤 분포를 나타낼 때 유용하게 쓰이게 됩니다. 이 함수는 극한을 이용해서 정의하기도 합니다. k 가 0으로 갈때의 정의를 보면 이렇게 무한대를 이용하여 디렉..

#0. Unit Step Function(단위계단함수) 말로 설명하는 것보다는 그래프를 직접 보면서 어떤 특성을 가지는 지 알아보도록 하겠습니다. 이렇게 어느 지점 이후부터는 1, 이전에는 0 인 함수를 Unit Step Function이라고 합니다. 여기선 0 이 기준점이 되었지만 평행이동도 가능합니다 만약 a를 기점으로 했다면 u(t-a) 이런식으로 나타내서 a이전과 이후에 0 과 1이 되는 것을 볼 수 있습니다. 공학에서 이 함수는 on, off 에 이용됩니다. t가 시간으로 둔다면 0 초(혹은 a초) 이후부터는 켜짐, 0초이전에는 꺼짐 상태로 둘 수 있다는 것이지요. 이러한 특성을 이용해서 만약에 어떤 함수에 이 Unit Step Function을 곱해준다면, 원하는 시점에서만 그래프가 나타나도록..

#0. 라플라스변환을 이용한 미분방정식의 풀이 이번 글은 지금까지 배운 라플라스 변환을 이용해서 간단한 미분방정식들을 풀이해보도록 하겠습니다. 새로운 내용보다는 지금까지 배운 미분방정식의 풀이를 떠올리면서 한번 정리하고 간다고 생각하면 되겠습니다. 그리고 앞서 배운 ODE 풀이법과는 어떻게 다른지 확인해보길 바랍니다. #1. 예제 초기값(initial value)이 주어진 문제입니다. 미분방정식 풀이를 해보도록 하겠습니다. 일단 미분방정식을 라플라스 변환 시켜줍니다. y의 라플라스 변환 한것을 대문자 Y로 두도록 하겠습니다., 식을 Y로 묶어서 정리해주면 Y만 남기고 나눗셈을 해주면(부분분수를 이용해서 분수를 쪼개줍니다.) 자 이제 역변환이 가능한 형태가 나왔습니다. 이렇게 라플라스 변환시에는 최대한 분..

#0. 미분과 적분 라플라스변환은 미분방정식에서 미분과 적분을 간단히 사칙연산처럼 수행할수 있도록 S세상으로의 변환이라고 이야기했었습니다. 오늘은 그 미분과 적분이 라플라스의 S세상에서는 어떻게 이루어지는지를 알아보겠습니다. #1. Laplace Transform의 미분 바로 식으로 접근해봅시다. 여기까지 크게 어려운 부분은없습니다 부분적분 과정에서 f의 라플라스 변환값이 보이기 때문에 그것을 이용하여 다시 식을 적어주면 됩니다. 2계미분까지 한번 변환해보도록 하겠습니다. 마찬가지로 앞의 것을 계속 이용해서 식을 풀이해 나갈 수 있습니다. 규칙을 자세히 보면 첫항부터 s의 차수가 계속 낮아지고, 라플라스 값, 그다음은 f(0)의 값 그다음은 f' , f'', f'''.....이런식으로 n계미분까지 접근해..

#0. Transform(변환) 이란? 미분방정식을 미분과 적분을 이용해서 풀이하는 기본적인 방법론에 대해서 이전글까지 설명했고, 앞으로 나올 주제들은 "변환"에 관한 이야기입니다. "변환"이라고 하면 일단 무언가를 다른세상으로 끌고 간다고 생각하면 될 것 같습니다. 우리가 "변환"을 하는 이유는 어떤 식이 다루기가 좀 힘들때, 이 식을 변환시켜 우리가 다루기 쉬운형태로 만들고자 할때 "변환" 을쓰게 됩니다. 예를 들면, 초월함수나 삼각함수의 경우 함수의 특성상 계산이 복잡해지거나, 다루기가 힘들어집니다. 이것을 변환을 통해 다항함수나 유리함수정도로 바꿀 수 있다면, 계산과정이 훨씬 줄어들게 되겠죠. Laplace Transform도 이와마찬가지입니다. 미분이 껴있어서 다루기가 힘든 미분방정식을 Lapl..

지난 글을 끝으로 2계미분방정식까지의 풀이법에 대해 알아보았고, 이번 글은 약간 부록편에 해당하는 고계미분방정식입니다. 일반적으로 고계(고차)라하면 3차 이상의 미분방정식을 의미하고, 풀이법은 2계미분방정식에서 배웠던 여러가지 스킬들을 확장하는 방법으로 이루어집니다. 물론, 공대수학을 하며서 2계 이상의 미분방정식을 풀게될 일은 거의 없을테지만, 그래도 모든 미분방정식에 기본적인 접근 방법을 습득한다고 생각하고, 오늘 글을 읽어주시면 감사하겠습니다. 이번글에서 주로 쓰이는 방법들은 Wronskian (https://lifelectronics.tistory.com/36) 상계수미분방정식(특성방정식) (https://lifelectronics.tistory.com/33) 오일러-코시 방정식 (https://..